天津高考数学历年真题

设函数f(x)在R上的导函数为f'(x) ，且2f(x)+xf'(x)＞x² ，下面的不等式在上恒成立的由已知条件构造辅助函数设F(x)=x^2f(x),所以，F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]因为2f(x)+xf'(x)>0所以，当x>0时,F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>x×x^2即F'(x)>x^3>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数当x<0，即-x>0时,F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]=-(-x)[2f(x)+xf'(x)]因为(-x)[2f(x)+xf'(x)]>(-x)×x^2所以，-(-x)[2f(x)+xf'(x)]<x^3即F'(x)<x^3<0,F(x)在(-∞,0)上是减函数所以，当x=0时，F(x)最小所以，F(x)=x^2f(x)≥F(0)=0(当且仅当x=0取等号）所以，f(x)≥0，只有x=0时才可能取等号，但2f(0)+0f'(0)>0^2,即f(0)>0所以，f(x)>0你的思路很奇怪，这是个分段函数，当然要分开来考虑，不是单调函数，不能这么用，解题思路如下：首先看这个函数发现两段都过定点(1，1)，而且没有单调性对于二元一次方程那段，函数开口向上，可以用求根判定没有两个解即可，也就是△≤0，解得a取值范围为[0，2]；对于第二段函数，判断最小值为x=a，由上知，a在[0，1]时，恒成立，a在[1，2]时，最小值需要大于等于0，也就是a-alna≥0解得a的取值范围为[1，e]，取两个并集得答案为[0，e]，也就是选c

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