2011年普通高等等学校招生全国统一模拟考试(湖南卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若 a＜0， ＞1，则 (D)A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C 0＜a＜1, b＞0 D 0＜a＜1, b＜02．对于非0向时a,b,“a//b”的确良 （A）A．充分不必要条件 B 必要不充分条件C．充分必要条件 D 既不充分也不必要条件3．将函数y=sinx的图象向左平移 0 ＜2 的单位后，得到函数y=sin 的图象，则 等于 （D）A． B． C D 4．如图1，当参数 时，连续函数 的图像分别对应曲线 和 , 则 [ B]A B C D 5从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 wwwks5ucom [ C]A 85 B 56 C 49 D 28 6 已知D是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆 在区域D内的弧长为 [ B]A B C D 7．正方体ABCD— 的棱上到异面直线AB，C 的距离相等的点的个数为（C）A．2 B．3 C 4 D 5 wwwks5ucom 8设函数 在（ ，+ ）内有定义。对于给定的正数K，定义函数取函数 = 。若对任意的 ，恒有 = ，则wwwks5ucom A．K的最大值为2 B K的最小值为2C．K的最大值为1 D K的最小值为1 D二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__10．在 的展开式中， 的系数为___7__(用数字作答)11、若x∈(0, )则2tanx+tan( -x)的最小值为2 wwwks5ucom 12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为 13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 ，则总体中的个数数位 50 。14、在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则wwwks5ucom （1）球心到平面ABC的距离为 12 ；（2）过A，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为 3 15、将正⊿ABC分割成 （ ≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2)三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）在 ，已知 ，求角A，B，C的大小。解：设 由 得 ，所以 又 因此 wwwks5ucom 由 得 ，于是 所以 ， ，因此 ，既 由A= 知 ，所以 ， ，从而 或 ，既 或 故 或 。17（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的 、 、 ，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。wwwks5ucom （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记 为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 , , ，i=1，2，3由题意知 相互独立， 相互独立， 相互独立， , , （i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（ ）=，P（ ）= ，P（ ）= （1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P（ ）=6P（ ）P（ ）P（ ）=6 = (2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ，由己已知， -B（3， ），且 =3 。所以P（ =0）=P（ =3）= = ， P（ =1）=P（ =2）= = wwwks5ucom P（ =2）=P（ =1）= = P（ =3）=P（ =0）= = 故 的分布是0123P 的数学期望E =0 +1 +2 +3 =2解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 ，i=1,2,3 ，由此已知， •D， 相互独立，且P（ ）-（ ， ）= P（ ）+P（ ）= + = 所以 -- ,既 ， wwwks5ucom 故 的分布列是12318（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱 中， D是 的中点，点E在 上，且 。（I）证明平面 平面 （II）求直线 和平面 所成角的正弦值。wwwks5ucom 解 （I） 如图所示，由正三棱柱 的性质知 平面 又DE 平面A B C ，所以DE AA 而DE AE。AA AE=A 所以DE 平面AC C A ，又DE 平面ADE，故平面ADE 平面AC C A 。（2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- A B C 的性质及D是A B的中点知A B C D， A B DF wwwks5ucom 又C D DF=D，所以A B 平面C DF，而AB∥A B，所以AB 平面C DF，又AB 平面ABC，故平面AB C 平面C DF。过点D做DH垂直C F于点H，则DH 平面AB C 。wwwks5ucom 连接AH，则 HAD是AD和平面ABC 所成的角。由已知AB= A A ，不妨设A A = ，则AB=2，DF= ，D C = ，C F= ，AD= = ，DH= = — ，所以 sin HAD= = 。即直线AD和平面AB C 所成角的正弦值为 。解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A = ，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B（ ，0，0）， C （0，1， ）， D（ ，- ， ）。易知 =( ，1，0)， =(0，2， )， =( ，- ， ）wwwks5ucom 设平面ABC 的法向量为n=（x，y，z）,则有解得x=- y， z=- ，故可取n=(1，- ， )。所以， (n• )= = = 。由此即知，直线AD和平面AB C 所成角的正弦值为 。19（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 万元。 （Ⅰ）试写出 关于 的函数关系式； （Ⅱ）当 =640米时，需新建多少个桥墩才能使 最小？解 （Ⅰ）设需要新建 个桥墩， 所以 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 令 ，得 ，所以 =64 当0< <64时 <0， 在区间（0，64）内为减函数；wwwks5ucom 当 时， >0 在区间（64，640）内为增函数，所以 在 =64处取得最小值，此时， 故需新建9个桥墩才能使 最小。20（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和wwwks5ucom （Ⅰ）求点P的轨迹C； （Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则 3︳x-2︳由题设 当x>2时，由①得 化简得 当 时 由①得 化简得 故点P的轨迹C是椭圆 在直线x=2的右侧部分与抛物线 在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与 ， 的交点都是A（2， ），B（2， ），直线AF，BF的斜率分别为 = ， = 当点P在 上时，由②知 ④当点P在 上时，由③知wwwks5ucom ⑤若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为 （i）当k≤ ，或k≥ ，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（ ， ），N（ ， ）都在C 上，此时由④知∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 - wwwks5ucom 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( + )由 得 则 ， 是这个方程的两根，所以 + = ∣MN∣=12 - （ + ）=12 - 因为当 wwwks5ucom 当且仅当 时，等号成立。（2）当 时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在 上，不妨设点 在 上，点 上，则④⑤知， 设直线AF与椭圆 的另一交点为E 所以 。而点A，E都在 上，且 有（1）知 wwwks5ucom 若直线 的斜率不存在，则 = =3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为 21（本小题满分13分）对于数列 若存在常数M＞0,对任意的 ，恒有 wwwks5ucom 则称数列 为B-数列（1）首项为1，公比为 的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（2）设 是数列 的前 项和，给出下列两组论断；A组：①数列 是B-数列 ②数列 不是B-数列B组：③数列 是B-数列 ④数列 不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3） 若数列 都是 数列，证明：数列 也是 数列。解（1）设满足题设的等比数列为 ,则 ，于是因此｜ - ｜+｜ - ｜+…+｜ - ｜= 因为 所以 即wwwks5ucom 故首项为1，公比为 的等比数列是B-数列。（2）命题1：若数列 是B-数列，则数列 是B-数列 次命题为假命题。 事实上，设 ，易知数列 是B-数列，但 由 的任意性知，数列 是B-数列此命题为。命题2：若数列 是B-数列，则数列 是B-数列此命题为真命题事实上，因为数列 是B-数列，所以存在正数M，对任意的 有 wwwks5ucom 即 。于是所以数列 是B-数列。（III）若数列 { }是 数列，则存在正数 ，对任意的 有注意到 同理： wwwks5ucom 记 ，则有 因此 + 故数列 是 数列wwwks5ucom高考数学选择题有没有蒙题技巧？1、江苏省高考理科数学总分为160分，分为填空题70分和解答题90分两部分，没有选择题。2、明年高考全国有25个省份使用全国卷，由于中学教学大纲不变，全国都一样，高考命题的具体内容和依据都是统一的考试大纲，因此，对于高考考生来说，只要按照原有复习备考安排去做即可，对考生不会有多大影响。3、试卷改变后主要还是试卷结构的不同，对于明年参加高考的考生来说，平时可以做一做前些年的高考全国卷，最好将近十年的高考全国卷系统做一遍，逐渐了解全国卷命题重点、命题方式、题型特点。有的，虽然肯定做不到百试百灵，但百分之七十还是能中！01、后三题不会就选B通常来说，数学的最后三个选择题都是比较难的，需要绕一定的弯弯才能够写出来。但是对于一些基础不太行或者数学思维能力比较差的人来说，在后三个选择题上面花费大量的时间完全就是一种浪费。毕竟花半个小时，也不见得算得出所以如果最后三题不会的话，完全可以都蒙一个B上去，尤其是倒数第一个选择题，大概率是选B！不要问为什么，问就是这么多试验过的人得出来的结论！虽然这个技巧看着挺不靠谱的，但用起来是真的好用，一般能中1-2个。02、三复一简选最简如果选择题给出来的答案是三个比较复杂的和一个比较简单的，直接选择简单的，百分之七十的概率是对的。因为很多考生看到三个复杂答案之后，就会下意识的认为这道题的答案很有可能比较复杂，而不断地去进行计算。实际上，答案是最简单的那个。同样的，如果是三个比较简单的答案和一个比较复杂的答案，比如A是1、B是-1、C是0、D是十二分之根号二，一般选择D是没有错的。其实这个技巧有点类似于“三长一短选最短，三短一长选最长”的文科技巧。03、角度问题用尺量数学里面少不了的就是角度问题了。或许是函数的斜率，也或许是一个几何问题，如果实在是做不出的话，可以根据题目给出的条件自己画好图，图一定要精确一点，然后直接用量角器去测量需要计算的角度即可。尤其是在比较正规的考试之中，如果题目已经给出了具体的图形，让你去计算角度的话，上量角器基本是没有问题的。当然，高考肯定不可能简简单单地让你量，你得自己画好辅助线啥的，但这也比硬生生计算要快得多！