单选题- 已知函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，且，

2021年公路水运工程试验检测《公共基础+道路工程+桥梁隧道工程》考试题库-道路工程-集料（3）-

建筑工程-公路水运工程试验检测

单选题-已知函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，且，则（　　）。

单选题

A.点（0，0）不是f（x，y）的极值点

B.点（0，0）是f（x，y）的极大值点

C.点（0，0）是f（x，y）的极小值点

D.根据所给条件无法判断点（0，0）是否为f（x，y）的极值点

我个人认为这个应该是：A

解析：由题设，容易推知f（0，0）=0，因此点（0，0）是否为f（x，y）的极值点，关键看在点（0，0）的充分小的邻域内f（x，y）是恒大于零、恒小于零还是变号。
由知，分子的极限必为零，从而有f（0，0）=0，且
f（x，y）-xy≈（x2+y2）2（｜x｜，｜y｜充分小时），于是f（x，y）-f（0，0）≈xy+（x2+y2）2。
可见当y=x且｜x｜充分小时， f（x，y）-f（0，0）≈x2+4x4＞0；
而当y=-x且｜x｜充分小时， f（x，y）-f（0，0）≈-x2+4x4＜0。
故点（0，0）不是f（x，y）的极值点。